2D物理(18) Collision Solutions

碰撞解决方案系统与方法论

I. 位置投影修正法 (Projection Method)

1.1 核心原理

通过直接修改物体位置消除渗透现象，具有即时修正特性：

适用场景：

• 刚体 sleeping 状态时的静力学修正
• 处理微小穿透的补充矫正手段
• 低精度要求的快速迭代系统

1.2 系统实现

void SolvePenetration(Rigidbody* a, Rigidbody* b, Contact& c) {
    const float k_slop = 0.01f;  // 允许的微小穿透
    const float k_bias = 0.2f;   // 校正强度系数
  
    // 计算质量权重因子
    float total_inv_mass = a->inv_mass + b->inv_mass;
    if (total_inv_mass == 0) return;
  
    // 有效穿透深度计算
    float penetration = std::max(c.penetration - k_slop, 0.0f);
    float lambda = k_bias * penetration / total_inv_mass;
  
    // 施加位置修正
    Vec2 correction = c.normal * lambda;
    a->position -= a->inv_mass * correction;
    b->position += b->inv_mass * correction;
}

优点：

• 实现极其简单，适合快速开发初期原型
• 无需考虑速度状态，静态修正效果立即可见
• 无迭代需求，运算成本恒定

缺点：

• 违反动量守恒定律，可能导致人造能量注入
• 处理高速碰撞时会产生抖动现象
• 无法正确传递旋转效应

II. 冲量解析法 (Impulse Method)

2.1 基础理论推导

基于牛顿恢复系数定律，构建动量守恒方程：

分解法线冲量和切向摩擦力冲量：

法线冲量计算： \(j_n = \frac{ -(1 + e) \mathbf{v}_{rel} \cdot \mathbf{\hat{n}} }{ \mathbf{\hat{n}} \cdot (\mathbf{\hat{n}} (\frac{1}{m_a} + \frac{1}{m_b}) ) + ... }\)

切向冲量计算（库伦摩擦模型）： \(j_t = \begin{cases} -\mu_s j_n \mathbf{\hat{t}}, & |\mathbf{v}_t| < \epsilon \text{（静摩擦）} \\ -\mu_d j_n \mathbf{\hat{t}}, & \text{其他（动摩擦）} \end{cases}\)

2.2 刚体冲量实施

void ApplyImpulse(Rigidbody* a, Rigidbody* b, Contact& c) {
    // 计算接触点相对速度
    Vec2 v_a = a->velocity + Cross(a->angular_velocity, c.point - a->center);
    Vec2 v_b = b->velocity + Cross(b->angular_velocity, c.point - b->center);
    Vec2 v_rel = v_b - v_a;
  
    // 法线冲量计算
    float v_n = Dot(v_rel, c.normal);
    float e = c.restitution; 
    float numerator = -(1 + e) * v_n;
  
    // 构建冲量分母项（含转动惯量）
    float r_ax = Cross(c.point - a->center, c.normal);
    float r_bx = Cross(c.point - b->center, c.normal);
    float denominator = a->inv_mass + b->inv_mass 
                      + a->inv_inertia * r_ax * r_ax
                      + b->inv_inertia * r_bx * r_bx;
  
    float j_n = numerator / max(denominator, 0.001f); // 防止除以零
  
    // 切向摩擦冲量计算
    Vec2 tangent = (v_rel - Dot(v_rel, c.normal)*c.normal).Normalize();
    float j_t = -Dot(v_rel, tangent) / denominator;
    j_t = clamp(j_t, -c.static_friction*j_n, c.static_friction*j_n);
  
    // 综合冲量应用
    Vec2 impulse = j_n * c.normal + j_t * tangent;
    a->ApplyImpulse(-impulse, c.point);
    b->ApplyImpulse(impulse, c.point);
}

优点：

• 真实物理行为再现（动量守恒、角动量守恒）
• 自动处理摩擦力与旋转耦合
• 稳定可靠的专业物理引擎首选方案

缺点：

• 复杂公式推导，实现难度较高
• 需要多次迭代才能收敛（通常8-16次）
• 处理持续接触时需配合warm start技术

III. 弹性势能惩罚法 (Penalty Method)

3.1 原理说明

将碰撞视为时变弹簧系统，通过胡克定律产生恢复力：

• k_p: 刚度系数（spring stiffness）
• k_d: 阻尼系数（damping coefficient）
• δ: 当前穿透深度

3.2 动态力计算模型

Vec2 ComputePenaltyForce(Contact& c, float dt) {
    // 弹性力项
    float kp = 1000.0f; // 根据材质调整
    float elastic_force = kp * c.penetration;
  
    // 阻尼力项
    float kd = 10.0f; 
    float damping_force = kd * Dot(relative_velocity, c.normal);
  
    // 二力合成
    return -(elastic_force + damping_force) * c.normal;
}

优点：

• 并行计算友好，适合GPU加速
• 处理超大规模粒子碰撞效率高
• 可实现穿透的平滑过渡修正

缺点：

• 需要微小时间步长（＜1/100s）防止爆炸性增长
• 高刚度系数导致数值不稳定性
• 缺乏真实的物理理论基础支持

IV. 方法性能对比

V. 混合系统架构设计

整合三种方法的阶梯式框架：

graph TD
    Step1[基于惩罚法的预响应] --> Step2[冲量法精确求解]
    Step2 -->|仍有穿透| Step3[投影法最终矫正]

5.1 主循环伪代码

def PhysicsStep(dt):
    # 阶段1: 广义冲量求解
    for 8 iterations:
        solveImpulseMethod()
  
    # 阶段2: 深度穿透惩罚
    if penetration > threshold:
        updatePenaltyForces()
  
    # 阶段3: 异常位置修正
    applyProjectionCorrection()

5.2 参数协调原则

• 刚度系数自适应：根据穿透速度自动调整 \(k_p = \frac{m}{\Delta t^2}, \quad m为物体质量\)
• 温启动机制：继承上一帧的冲量值作为初始估计
• 操作顺序原则：速度→位置修正层级递进

VI. 高级优化技巧

6.1 多重子步长技术

对高速运动物体实施： \(\begin{cases} \Delta t_{sub} = \frac{\Delta t}{n} \\ n = \text{ceil}(\|\mathbf{v}\| \cdot \delta t / \text{网格尺寸}) \end{cases}\)

6.2 接触维持策略

针对堆叠物体优化：

• 接触持久化：缓存历史接触点
• 接触流形合并：减少冗余计算
• 休眠过滤：静止后停止物理模拟

VII. 实践建议与陷阱规避

1. 轧制现象预防 为移动平台物体添加特殊标志位：

   if (body.isKinematic && velocity.length() > threshold) {
       useContinuousCollisionDetection(); 
   }
   

2. 自由旋转仿真 使用角速度 clamping： \(\omega_{max} = \sqrt{\frac{2E_{rotation}}{I}}\)

3. 数值积分选择 采用半隐式欧拉法保稳定： \(\mathbf{v}^{n+1} = \mathbf{v}^n + \mathbf{F}_{ext}/m \cdot \Delta t \mathbf{x}^{n+1} = \mathbf{x}^n + \mathbf{v}^{n+1} \cdot \Delta t\)

黄金法则：在游戏开发中推荐采用 [冲量法 + 适量投影修正] 的混合方案，既保证物理合理性又处理深层穿透问题。对于需要实时交互的 VR 操作物体可额外叠加惩罚力增强触觉反馈。